Mi diario clase 3

 Reglas trigonométricas

Completamos en este tema la derivación de las principales funciones reales de variable real que venimos manejando, estudiando la derivabilidad de las funciones trigonométricas y sus inversas. Ello nos permitirá, como una nueva aplicación del Teorema del Valor Medio, probar las identidades trigonométricas más usuales y, en general, mejorar sustancialmente el conocimiento de las funciones trigonométricas y sus inversas.

La derivada de la función seno estándar es:

${\sin }^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\cos (𝑥)$

Para derivar a funciones seno de la forma $\sin (𝑛𝑥)$, usamos la regla de la cadena con $𝑦=\sin (𝑢)$ y $𝑢=𝑛𝑥$.

De igual forma, para derivar funciones de la forma ${\sin }^{𝑛}(𝑥)=(\sin (𝑥){)}^{𝑛}$, usamos la regla de la cadena con $𝑦={𝑢}^{𝑛}$ y $𝑢=\sin (𝑥)$.

Derivada de la función coseno

La derivada de la función coseno estándar es:

${\cos }^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=-\sin (𝑥)$

Si tenemos funciones de la forma $\cos (𝑛𝑥)$, podemos usar la regla de la cadena con $𝑦=\cos (𝑢)$ y $𝑢=𝑛𝑥$.

En el caso de funciones de la forma ${\cos }^{𝑛}(𝑥)=(\cos (𝑥){)}^{𝑛}$, usamos la regla de la cadena con $𝑦={𝑢}^{𝑛}$ y $𝑢=\cos (𝑥)$.

Derivada de la función tangente

La derivada de la función tangente estándar es:

${\tan }^{\mathrm{\prime }}(𝑥)={\sec }^2(𝑥)$

Para funciones de la forma $\tan (𝑛𝑥)$, usamos la regla de la cadena con $𝑦=\tan (𝑢)$ y $𝑢=𝑛𝑥$.

Para funciones de la forma ${\tan }^{𝑛}(𝑥)=(\tan (𝑥){)}^{𝑛}$, usamos la regla de la cadena con $𝑦={𝑢}^{𝑛}$ y $𝑢=\tan (𝑥)$.

Derivada de la función cosecante

La derivada de la función cosecante estándar es:

${\mathrm{cosec}}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=-\mathrm{cosec}(𝑥)\cot (𝑥)$

Las funciones cosecante de la forma $\mathrm{cosec}(𝑛𝑥)$, pueden ser derivadas con la regla de la cadena al usar $𝑦=\mathrm{cosec}(𝑢)$ y $𝑢=𝑛𝑥$.

De igual forma, las funciones de la forma ${\mathrm{cosec}}^{𝑛}(𝑥)=(\mathrm{cosec}(𝑥){)}^{𝑛}$, son derivadas con la regla de la cadena con $𝑦={𝑢}^{𝑛}$ y $𝑢=\mathrm{cosec}(𝑥)$.

Derivada de la función secante

La derivada de la función secante estándar es:

${\sec }^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\sec (𝑥)\tan (𝑥)$

Las funciones secante de la forma $\sec (𝑛𝑥)$ son derivadas usando la regla de la cadena con $𝑦=\sec (𝑢)$ y $𝑢=𝑛𝑥$.

De igual forma, las funciones de la forma ${\sec }^{𝑛}(𝑥)=(\sec (𝑥){)}^{𝑛}$ son derivadas usando la regla de la cadena con $𝑦={𝑢}^{𝑛}$ y $𝑢=\sec (𝑥)$.

Derivada de la función cotangente

La derivada de la función cotangente estándar es:

${\cot }^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=-{\mathrm{cosec}}^2(𝑥)$

Para derivar a funciones cotangente de la forma $\cot (𝑛𝑥)$, aplicamos la regla de la cadena con $𝑦=\cot (𝑢)$ y $𝑢=𝑛𝑥$.

Las funciones de la forma ${\cot }^{𝑛}(𝑥)=(\sin (𝑥){)}^{𝑛}$, también son derivadas usando la regla de la cadena con $𝑦={𝑢}^{𝑛}$ y $𝑢=\cot (𝑥)$

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