Mi diario clase #1 

 Derivadas exponenciales y logarítmicas 

Derivada de la función exponencial

Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos calcular las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. A la hora de desarrollar estas fórmulas, tenemos que hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas de que estos supuestos se mantienen están fuera del alcance de este curso.

En primer lugar, partimos de la base de que la función B(x)=bx,b>0,$𝐵\left(𝑥\right)={𝑏}^{𝑥},𝑏>0,$ está definida para todo número real y es continua. En los cursos anteriores se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales, empezando por la definición de bn,${𝑏}^{𝑛},$ donde n$𝑛$ es un número entero positivo, como el producto de b$𝑏$ multiplicado por sí mismo n$𝑛$ veces. Más adelante, definimos b0=1,b−n=1bn,${𝑏}^0=1,{𝑏}^{\text{−}𝑛}=\frac{1}{{𝑏}^{𝑛}},$ para un número entero positivo n,$𝑛,$ y bs/t=(b√t)s${𝑏}^{𝑠\text{/}𝑡}=(\sqrt[𝑡]{𝑏}{)}^{𝑠}$ para números enteros positivos s$𝑠$ y t.$𝑡.$ 

Recuerda que estas fórmulas se aplican a funciones específicas, y puedes usarlas para calcular las derivadas de otras funciones exponenciales y logarítmicas.

Regla de la cadena para derivadas de funciones logarítmicas

Al igual que con las funciones exponenciales, la regla de la cadena también se aplica para derivar funciones logarítmicas compuestas. Para derivar una función logarítmica compuesta, f(g(x)), la regla de la cadena establece que se debe multiplicar la derivada de la función externa (f’) por la derivada de la función interna (g’). La derivada de una función logarítmica log_a(x) es f'(x) = 1 / (x * ln(a)).

Derivadas de funciones exponenciales simples

Para entender cómo derivar funciones exponenciales, consideremos ejemplos específicos:

Ejemplo 1: Derivada de f(x) = 3^x

Aplicando la regla de la cadena, obtenemos f'(x) = ln(3) * 3^x.

Ejemplo 2: Derivada de f(x) = e^(2x)

Aplicando la regla de la cadena, obtenemos f'(x) = 2 * e^(2x).

La derivada de una constante es igual a cero, pues dicho número no varía en función de ninguna variable.

Es decir, matemáticamente

Ejemplos

1 

Al ser la función un numero constante no varia por lo tanto su derivada es cero, es decir,

2 

De igual manera, teneos una función constante por lo tanto siguiendo la regla su derivada seria cero

La derivada de la función cotangente de una función  es igual a menos el

cuadrado de la cosecante de la función  por la derivada de la función .

 

Ahora presentaremos alguno ejemplos sobre el cálculo de la derivada de la función

cotangente

Ejemplos

1 Consideremos la siguiente función . Entonces  y

. Utilizando la formula anterior para la derivada de la función cotangente

tenemos que

La derivación por regla de cadena se aplica cuando buscamos derivar una composición de funciones.

Si tenemos una función compuesta de la forma

entonces su derivada, respecto a  está dada por

o en notación con diferenciales

Debemos notar cuidadosamente que  es la derivada de  pero en términos de .

La demostración por definición sería como sigue

La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma función por la derivada del exponente.