Debido a que muchas funciones tienen valores que van desde menos infinito a infinito es más sencillo referirse a los valores como punto máximo relativo y punto mínimo relativo, en estos dos puntos la recta tangente a la curva es completamente horizontal, por lo que su pendiente es igual a 0, aplicando los conocimientos con los que contamos podemos saber que igual, la derivada de la función va a tener el valor de 0. Estos puntos también determinan los intervalos crecientes y decrecientes. Pasos para encontrar los puntos mínimos y máximos:
Se obtiene la derivada de la función.
Se iguala la derivada a cero para luego resolver la ecuación y así encontrar los valores de x, dichos valores son llamados valores críticos.
Se saca la segunda derivada de la función y se evalúa la función con los valores críticos previamente obtenidos. Si el resultado es menor a cero entonces tenemos un punto máximo y si es mayor a cero entonces es un punto mínimo.
Los valores críticos se evalúan en la función original para obtener el valor de "y", así determinamos las coordenadas de dichos puntos.
La primera derivada de una función es una nueva función (ecuación) que le da la tasa de cambio instantánea de alguna función deseada en cualquier punto.
Suponga que está jugando a un videojuego. Mueves a tu personaje, Squirmy, a través de un largo túnel subterráneo usando tu panel de control. Una cosa que el pad le permite hacer es acelerar y reducir la velocidad. Entonces, Squirmy a veces viaja más rápido y a veces más lento a través del túnel.
Tal vez estés impaciente por llevar a Squirmy a través del túnel, así que usas los controles para acelerarlo gradualmente. Su velocidad en cualquier momento se ve así:
s = 2 x + 5
En esta ecuación, x representa el número de segundos desde que Squirmy entró en el túnel y s representa su velocidad (en cm / segundo). Si coloca un 0 para x , verá que en el tiempo cero (cuando entró en el túnel), viajaba a 5 cm / segundo. Un segundo después ( x = 1), viajaba a 7 cm / seg. Después de otro segundo ( x = 2), se movía a la velocidad de 9 cm / segundo. Claramente, Squirmy está ganando velocidad. Su tasa de cambio instantáneo (velocidad en un instante en el tiempo) cambia constantemente.
El criterio de la primera derivada es el proceso de analizar funciones utilizando sus primeras derivadas en búsqueda de puntos extremos. Este trabajo involucra múltiples pasos, por lo que necesitamos descomprimirlo en una forma que nos ayude a evitar errores u omisiones perjudiciales.
¿Y si te dijéramos que dada la ecuación de la función, puedes encontrar todos sus puntos máximos y mínimos? Bueno, ¡es cierto! Este proceso se llama el criterio de la primera derivada. Expliquémoslo de una manera que nos ayude a evitar errores u omisiones perjudiciales.
Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos calcular las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. A la hora de desarrollar estas fórmulas, tenemos que hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas de que estos supuestos se mantienen están fuera del alcance de este curso.
En primer lugar, partimos de la base de que la función B(x)=bx,b>0, está definida para todo número real y es continua. En los cursos anteriores se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales, empezando por la definición de bn, donde n es un número entero positivo, como el producto de b multiplicado por sí mismo n veces. Más adelante, definimos b0=1,b−n=1bn, para un número entero positivo n, y bs/t=(b√t)s para números enteros positivos s y t.
Recuerda que estas fórmulas se aplican a funciones específicas, y puedes usarlas para calcular las derivadas de otras funciones exponenciales y logarítmicas.
Regla de la cadena para derivadas de funciones logarítmicas
Al igual que con las funciones exponenciales, la regla de la cadena también se aplica para derivar funciones logarítmicas compuestas. Para derivar una función logarítmica compuesta, f(g(x)), la regla de la cadena establece que se debe multiplicar la derivada de la función externa (f’) por la derivada de la función interna (g’). La derivada de una función logarítmica log_a(x) es f'(x) = 1 / (x * ln(a)).
Derivadas de funciones exponenciales simples
Para entender cómo derivar funciones exponenciales, consideremos ejemplos específicos:
Ejemplo 1: Derivada de f(x) = 3^x
Aplicando la regla de la cadena, obtenemos f'(x) = ln(3) * 3^x.
Ejemplo 2: Derivada de f(x) = e^(2x)
Aplicando la regla de la cadena, obtenemos f'(x) = 2 * e^(2x).
La derivada de una constante es igual a cero, pues dicho número no varía en función de ninguna variable.
Es decir, matemáticamente
Ejemplos
1
Al ser la función un numero constante no varia por lo tanto su derivada es cero, es decir,
2
De igual manera, teneos una función constante por lo tanto siguiendo la regla su derivada seria cero
La derivada de la función cotangente de una función es igual a menos el
cuadrado de la cosecante de la función por la derivada de la función .
Ahora presentaremos alguno ejemplos sobre el cálculo de la derivada de la función
cotangente
Ejemplos
1 Consideremos la siguiente función . Entonces y
. Utilizando la formula anterior para la derivada de la función cotangente
tenemos que
La derivación por regla de cadena se aplica cuando buscamos derivar una composición de funciones.
Si tenemos una función compuesta de la forma
entonces su derivada, respecto a está dada por
o en notación con diferenciales
Debemos notar cuidadosamente que es la derivada de pero en términos de .
La demostración por definición sería como sigue
La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
Derivada de la función exponencial de base e
La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma función por la derivada del exponente.
es igual a menos el
. Entonces 
y
. Utilizando la formula anterior para la derivada de la función cotangente
está dada por
es la derivada de 
pero en términos de 
.
